© 2000−2019  P. BogackiSolving a system of linear equationsv. 1.25 

 PROBLEM

Solve the following system of 3 linear equations in 3 unknowns:

-3 x1 +1 x2-2 x3=-7 
5 x1 +3 x2-4 x3=2 
1 x1 +2 x2-3 x3=-1 

 SOLUTION

 Step 1: Transform the augmented matrix to the reduced row echelon form  (Hide details)

Row
Operation
1:  
 -3   1   -2    -7 
 5   3   -4   2 
 1   2   -3   -1 
multiply the 1st row by -1/3
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 5   3   -4   2 
 1   2   -3   -1 
Row
Operation
2:  
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 5   3   -4   2 
 1   2   -3   -1 
add -5 times the 1st row to the 2nd row
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   14 
 3 		  -22 
 3 		  -29 
 3 
 1   2   -3   -1 
Row
Operation
3:  
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   14 
 3 		  -22 
 3 		  -29 
 3 
 1   2   -3   -1 
add -1 times the 1st row to the 3rd row
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   14 
 3 		  -22 
 3 		  -29 
 3 
 0   7 
 3 		  -11 
 3 		  -10 
 3 
Row
Operation
4:  
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   14 
 3 		  -22 
 3 		  -29 
 3 
 0   7 
 3 		  -11 
 3 		  -10 
 3 
multiply the 2nd row by 3/14
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   1   -11 
 7 		  -29 
 14 
 0   7 
 3 		  -11 
 3 		  -10 
 3 
Row
Operation
5:  
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   1   -11 
 7 		  -29 
 14 
 0   7 
 3 		  -11 
 3 		  -10 
 3 
add -7/3 times the 2nd row to the 3rd row
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   1   -11 
 7 		  -29 
 14 
 0   0   0   3 
 2 
Row
Operation
6:  
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   1   -11 
 7 		  -29 
 14 
 0   0   0   3 
 2 
multiply the 3rd row by 2/3
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   1   -11 
 7 		  -29 
 14 
 0   0   0   1 
Row
Operation
7:  
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   1   -11 
 7 		  -29 
 14 
 0   0   0   1 
add 29/14 times the 3rd row to the 2nd row
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   1   -11 
 7 		  0 
 0   0   0   1 
Row
Operation
8:  
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   7 
 3 
 0   1   -11 
 7 		  0 
 0   0   0   1 
add -7/3 times the 3rd row to the 1st row
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   0 
 0   1   -11 
 7 		  0 
 0   0   0   1 
Row
Operation
9:  
 1   -1 
 3 		  2 
 3 		   0 
 0   1   -11 
 7 		  0 
 0   0   0   1 
add 1/3 times the 2nd row to the 1st row
 1   0   1 
 7 		   0 
 0   1   -11 
 7 		  0 
 0   0   0   1 
 Step 2: Interpret the reduced row echelon form

The reduced row echelon form of the augmented matrix is

 1   0   1 
 7 		   0 
 0   1   -11 
 7 		  0 
 0   0   0   1 

which corresponds to the system

1 x1  +(1/7) x3=0
 1 x2 +(-11/7) x3=0
  0=1 

Equation 3 cannot be solved, therefore, the system has no solution (i.e. the system is inconsistent).

This concludes the solution of the problem. Do you want to
  • solve another problem of the same type, or
  • go to the main Toolkit page?