© 2000−2019  P. BogackiSolving a system of linear equationsv. 1.25 

 PROBLEM

Solve the following system of 3 linear equations in 3 unknowns:

(1/2) x1 +(-3/5) x2 +(-1/5) x3=50 
(-1/5) x1 +(4/5) x2 +(-1/10) x3=30 
(-1/10) x1 +(-1/5) x2 +(7/10) x3=20 

 SOLUTION

 Step 1: Transform the augmented matrix to the reduced row echelon form  (Hide details)

Row
Operation
1:  
 1 
 2 		  -3 
 5 		  -1 
 5 		   50 
 -1 
 5 		  4 
 5 		  -1 
 10 		  30 
 -1 
 10 		  -1 
 5 		  7 
 10 		  20 
multiply the 1st row by 2
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 -1 
 5 		  4 
 5 		  -1 
 10 		  30 
 -1 
 10 		  -1 
 5 		  7 
 10 		  20 
Row
Operation
2:  
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 -1 
 5 		  4 
 5 		  -1 
 10 		  30 
 -1 
 10 		  -1 
 5 		  7 
 10 		  20 
add 1/5 times the 1st row to the 2nd row
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   14 
 25 		  -9 
 50 		  50 
 -1 
 10 		  -1 
 5 		  7 
 10 		  20 
Row
Operation
3:  
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   14 
 25 		  -9 
 50 		  50 
 -1 
 10 		  -1 
 5 		  7 
 10 		  20 
add 1/10 times the 1st row to the 3rd row
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   14 
 25 		  -9 
 50 		  50 
 0   -8 
 25 		  33 
 50 		  30 
Row
Operation
4:  
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   14 
 25 		  -9 
 50 		  50 
 0   -8 
 25 		  33 
 50 		  30 
multiply the 2nd row by 25/14
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   1   -9 
 28 		  625 
 7 
 0   -8 
 25 		  33 
 50 		  30 
Row
Operation
5:  
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   1   -9 
 28 		  625 
 7 
 0   -8 
 25 		  33 
 50 		  30 
add 8/25 times the 2nd row to the 3rd row
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   1   -9 
 28 		  625 
 7 
 0   0   39 
 70 		  410 
 7 
Row
Operation
6:  
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   1   -9 
 28 		  625 
 7 
 0   0   39 
 70 		  410 
 7 
multiply the 3rd row by 70/39
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   1   -9 
 28 		  625 
 7 
 0   0   1   4100 
 39 
Row
Operation
7:  
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   1   -9 
 28 		  625 
 7 
 0   0   1   4100 
 39 
add 9/28 times the 3rd row to the 2nd row
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   1   0   1600 
 13 
 0   0   1   4100 
 39 
Row
Operation
8:  
 1   -6 
 5 		  -2 
 5 		   100 
 0   1   0   1600 
 13 
 0   0   1   4100 
 39 
add 2/5 times the 3rd row to the 1st row
 1   -6 
 5 		  0    5540 
 39 
 0   1   0   1600 
 13 
 0   0   1   4100 
 39 
Row
Operation
9:  
 1   -6 
 5 		  0    5540 
 39 
 0   1   0   1600 
 13 
 0   0   1   4100 
 39 
add 6/5 times the 2nd row to the 1st row
 1   0   0    11300 
 39 
 0   1   0   1600 
 13 
 0   0   1   4100 
 39 
 Step 2: Interpret the reduced row echelon form

The reduced row echelon form of the augmented matrix is

 1   0   0    11300 
 39 
 0   1   0   1600 
 13 
 0   0   1   4100 
 39 

which corresponds to the system

1 x1  =(11300/39) 
 1 x2 =(1600/13) 
  1 x3=(4100/39) 

No equation of this system has a form zero = nonzero; Therefore, the system is consistent.

The leading entries in the matrix have been highlighted in yellow.

A leading entry on the (i,j) position indicates that the j-th unknown will be determined using the i-th equation.

Since every column in the coefficient part of the matrix has a leading entry that means our system has a unique solution:

x1=11300/39
x2=1600/13
x3=4100/39
This concludes the solution of the problem. Do you want to
  • solve another problem of the same type, or
  • go to the main Toolkit page?